Função Afim | Função do Primeiro Grau

Noção Intuitiva de Função: Uma função é uma relação de dependência entre duas grandezas ou variáveis. Isso significa que o valor de uma grandeza depende diretamente do valor da outra.

1. Definição e Estrutura

Uma Função Afim, ou também conhecida como Função do 1º Grau, é uma regra matemática que associa cada elemento \(x\) de um conjunto (Domínio) a um único elemento \(y\) de outro conjunto (Contradomínio), por meio de uma expressão polinomial de grau 1. Toda função afim possui como conjunto domínio os números reais, assim como seu contradomínio, \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\). Ainda, nas funções afins, o conjunto imagem é igual ao contradomínio.

A estrutura geral de uma função afim é dada pela sua lei de formação:

\(f(x) = ax + b\)

ou

\(y = ax + b\)

Onde:

• \(a\) → Coeficiente Angular: É o número real que multiplica a variável \(x\). Determina a inclinação da reta em relação ao eixo horizontal. Se \(a > 0\), a reta é crescente; se \(a < 0\), é decrescente.
• \(b\) → Coeficiente Linear: É o termo constante (independente de \(x\)). Indica o ponto exato onde a reta intersecta (corta) o eixo vertical (\(y\)), gerando o par ordenado \((0, b)\).
• \(x\) → Variável Independente: É a variável que pode assumir qualquer valor real livremente dentro do domínio estabelecido.
• \(f(x)\) ou \(y\) → Variável Dependente: É a variável cujo valor depende diretamente do valor atribuído a \(x\).

Exemplo

Identifique os coeficientes e as variáveis na função \[f(x) = 3x - 5\]

• Coeficiente Angular: \(a = 3\)
• Coeficiente Linear: \(b = -5\)
• Variável Independente: \(x\)
• Variável Dependente: \(f(x)\)

2. O Zero da Função (Raiz da Função)

O Zero da Função (ou Raiz da Função) é o valor numérico atribuído a \(x\) que faz com que a função se anule por completo, ou seja, faz com que a variável dependente seja zero (\(f(x) = 0\)). Geometricamente, é o ponto exato onde a reta corta o eixo horizontal (\(x\)).

"Para encontrar o zero (a raiz) da função, transforma-se a função afim em uma equação do primeiro grau igualada a zero"

\(f(x) = 0 \quad \implies \quad ax + b = 0\)

Ou seja, substitui-se \(f(x)\) por \(0\) e isola-se o valor de \(x\):

\(ax + b = 0\)
\(ax = -b\)
\(x = -\frac{b}{a}\)

Assim, para qualquer função afim, a raiz pode ser encontrada diretamente pela fórmula \(x = -\frac{b}{a}\).

Exemplo

Determine a raiz da função \(f(x) = 2x - 6\).

• \(2x - 6 = 0\)
• \(2x = 6\)
• \(x = \frac{6}{2}\)
• \(x = 3 \implies \text{O zero (a raiz) da função é } 3.\)

3. Plano Cartesiano

O Plano Cartesiano é um sistema de coordenadas formado por duas retas perpendiculares: o eixo horizontal (\(x\), abscissas) e o eixo vertical (\(y\), ordenadas). Cada localização é dada por um par ordenado \((x, y)\). A seguir apresenta-se um esboço básico do plano cartesiano ilustrando a disposição teórica de seus eixos x (Abscissas) e y (Ordenadas).

4. Pontos (Par Ordenado)

Os pontos (ou Par Ordenados) são coordenadas no Plano Cartesiano. Para construir o gráfico de uma função afim, são necessários apenas dois pontos distintos.

Dois pontos estratégicos facilitam essa montagem:

• Ponto do Coeficiente Linear → Onde a reta toca o eixo \(y\). \[(0, b)\] Como ocorre quando \(x=0\), suas coordenadas fixas são sempre \(b\).
• Ponto do Zero da Função → Onde a reta toca o eixo \(x\). \[(x, 0)\] Como ocorre quando \(y=0\), suas coordenadas são dadas pela raiz \(x\). Podemos ver o ponto do zero da função também como: \[\left(-\frac{b}{a}, 0\right)\]

5. Comportamento do Coeficiente Angular (\(a\))

O coeficiente angular (\(a\)) é o elemento responsável por definir a inclinação da reta em relação ao eixo horizontal \(x\) e ditar o comportamento de crescimento da função. Dependendo do sinal do valor de \(a\), a função afim assume uma das seguintes classificações:

• Função Crescente (\(a > 0\)): Ocorre quando o coeficiente angular é positivo. À medida que os valores de \(x\) aumentam, os valores correspondentes de \(y\) também aumentam.
• Função Decrescente (\(a < 0\)): Ocorre quando o coeficiente angular é negativo. À medida que os valores de \(x\) aumentam, os valores correspondentes de \(y\) diminuem.

\(a > 0\) (Positivo)

\(a < 0\) (Negativo)

Exemplo

Observe as leis de formação abaixo e determine se são crescentes ou decrescentes:

a) \(f(x) = 5x - 2 \implies a = 5 \ (5 > 0) \implies\) Crescente

b) \(f(x) = -3x + 1 \implies a = -3 \ (-3 < 0) \implies\) Decrescente

6. Gráfico: RETA

O gráfico de toda função afim é rigorosamente uma reta. Conhecendo os dois pontos principais (interseção com os eixos), basta traçar a linha que passa por ambos.

Exemplo Prático de Gráfico

Construa o gráfico da função afim dada por \(f(x) = 2x + 4\).

Primeiro, encontramos os dois pontos necessários determinando onde a função corta cada eixo:

• No eixo \(y\) (\(x=0\)): \(f(0) = 2(0) + 4 = 4 \implies\) Ponto \(A(0, 4)\)
• No eixo \(x\) (\(f(x)=0\)): \(2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2 \implies\) Ponto \(B(-2, 0)\)

Como o coeficiente angular \(a = 2$ é positivo ($a > 0\)), a reta gerada é crescente.

7. Determinação da Lei de Formação a partir de Dois Pontos

Muitas vezes, o objetivo é fazer o caminho inverso: conhecemos apenas dois pontos pertencentes à reta e precisamos encontrar a lei de formação \(f(x) = ax + b\) que os gerou.

• → Passo 1: Dados dois pontos distintos: \[(x_1, y_1) \quad \text{e} \quad (x_2, y_2)\]
• → Passo 2: Calcular o Coeficiente Angular (\(a\)) utilizando a fórmula da variação de \(y\) sobre \(x\): \[a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
• → Passo 3: Escolher um dos pontos dados e substituir suas coordenadas junto com o valor de \(a\) encontrado: \[y - y_0 = a(x - x_0)\]
• → Passo 4: Isolar a variável \(y\) para obter a lei final da função na forma: \[y = ax + b\]

Exemplo 1

Determine a lei da função que passa pelos pontos \(A(1, 5)\) e \(B(3, 9)\).

Passo 1: Identificamos os valores: \(x_1 = 1\), \(y_1 = 5\) e \(x_2 = 3\), \(y_2 = 9\).

Passo 2: Calculando o coeficiente angular \(a\):

\[a = \frac{9 - 5}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2\]

Passo 3 e 4: Escolhendo o ponto \(A(1, 5)\) para substituir na fórmula:

\[y - 5 = 2(x - 1)\] \[y - 5 = 2x - 2\] \[y = 2x - 2 + 5\] \[\therefore y = 2x + 3\]

Exemplo 2

Encontre a Lei de Formação da função afim sabendo que \(f(2) = 1\) e \(f(-1) = 7\).

Lembre-se que \(f(x) = y\). Logo, temos os pontos \(A(2, 1)\) e \(B(-1, 7)\).

Passo 1 e 2: Calculando \(a\):

\[a = \frac{7 - 1}{-1 - 2} = \frac{6}{-3} = -2\]

Passo 3 e 4: Escolhendo o ponto \(A(2, 1)\):

\[y - 1 = -2(x - 2)\] \[y - 1 = -2x + 4\] \[y = -2x + 4 + 1\] \[\therefore f(x) = -2x + 5\]

Exemplo 3

Encontre a lei de formação da função representada pelo gráfico abaixo:

Resolução:

Ao analisarmos o gráfico, extraímos visualmente dois pontos pertencentes à reta: o ponto \(D(0, 1)\) (onde corta o eixo \(y\), indicando diretamente que o coeficiente linear é \(b = 1\)) e o ponto \(C(4, 3)\).

Passo 1 e 2: Calculando \(a\) com os pontos \((0,1)\) e \((4,3)\):

\[a = \frac{3 - 1}{4 - 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5\]

Passo 3 e 4: Como já sabemos que o ponto toca o eixo \(y\) em \(1\), temos que \(b = 1\). Substituindo diretamente na estrutura \(f(x) = ax + b\):

\[f(x) = \frac{1}{2}x + 1 \quad \text{ou} \quad f(x) = 0,5x + 1\]

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Para facilitar, a seguir está o link de download da apostilas contendo este conteúdo.

• Apostila - Função Afim