TEOREMA DE PITÁGORAS

Teorema de Pitágoras - Aula Interativa

1. Introdução

O Teorema de Pitágoras é uma relação fundamental na geometria euclidiana entre os três lados de um triângulo retângulo. Ele afirma que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

1.1 A Fórmula

Seja um triângulo retângulo com catetos \( b \) e \( c \) e hipotenusa \( a \), temos:

cateto (c) cateto (b) hipotenusa (a)
\( a^2 = b^2 + c^2 \)

Lema: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

ou

A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

EXEMPLO: Encontre a hipotenusa \( x \) de um triângulo onde os catetos medem \( 3 \) e \( 4 \). 3 4 x = 5
  • \( x^2 = 3^2 + 4^2 \)
  • \( x^2 = 9 + 16 \)
  • \( x^2 = 25 \)
  • \( x = \sqrt{25} \implies x = 5 \)

2. Triângulos Mágicos (Ternos Pitagóricos)

Estes são conjuntos de números inteiros que sempre formam triângulos retângulos. Decorar esses padrões economiza muito tempo em cálculos.

  1. O Clássico Δ 3-4-5: Se os catetos são 3 e 4, a hipotenusa é 5. (Vale para múltiplos: 6-8-10, 9-12-15).
    2. 3k 4k 5k
  2. Dois lados iguais Δ a - a - a√2: Se os catetos são iguais, a hipotenusa terá o mesmo valor com a \( \sqrt{2} \).

3. Perímetro

O perímetro é a medida do comprimento total do contorno de uma figura geométrica plana, ou seja, é a soma de todos os lados.

EXEMPLO: Determine o valor de x e o perímetro da figura a seguir (catetos 9m e 12m).

Resolução: Notemos que se temos um cateto 12 e outro 9, a hipotenusa será 15. Pois, no triângulo 3-4-5, \( 12=4 \cdot 3 \) e \( 9=3 \cdot 3 \), logo \( 5 \cdot 3 = 15 \).

P = 9 + 12 + 15 = 36 m

p>________________________________________

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